Uniqueness, multiplicity and nondegeneracy of positive solutions to the Lane-Emden problem

In this paper, we study the nearly critical Lane-Emden equations (⁎){−Δu=up−εinΩ,u>0inΩ,u=0on∂Ω, where Ω⊂RN with N≥3, p=N+2N−2 and ε>0 is small. Our main result is that when Ω is a smooth bounded convex domain and the Robin function on Ω is a Morse function, then for small ε the equation (⁎) has a unique solution, which is also nondegenerate. As for non-convex domain, we also obtain exact number of solutions to (⁎) under some conditions. In general, the solutions of (⁎) may blow-up at multiple points a1,⋯,ak of Ω as ε→0. In particular, when Ω is convex, there must be a unique blow-up point (i.e., k=1 ). In this paper, by using the local Pohozaev identities and blow-up techniques, even having multiple blow-up points (non-convex domain), we can prove that such blow-up solution is unique and nondegenerate. Combining these conclusions, we finally obtain the uniqueness, multiplicity and nondegeneracy of solutions to (⁎). Dans cet article, nous étudions les équations de Lane-Emden presque critiques (⁎){−Δu=up−εinΩ,u>0inΩ,u=0on∂Ω, où Ω⊂RN avec N≥3, p=N+2N−2 et ε>0 est petit. Notre résultat principal est que lorsque Ω est un domaine convexe borné lisse et la fonction Robin sur Ω est une fonction Morse, alors pour un petit ε l'équation (⁎) a une unique solution, qui est également non dégénérée. Comme pour le domaine non convexe, nous obtenons également le nombre exact de solutions de (⁎) sous certaines conditions. En général, les solutions de (⁎) peuvent exploser en plusieurs points a1,⋯,ak de Ω en ε→0. En particulier, lorsque Ω est convexe, il doit y avoir un point d'éclatement unique (c'est-à-dire k=1 ). Dans cet article, en utilisant les identités locales de Pohozaev et les techniques d'éclatement, même en ayant plusieurs points d'éclatement (domaine non convexe), nous pouvons prouver qu'une telle solution éclatée est unique et non dégénérée. En combinant ces conclusions, nous obtenons finalement l'unicité, la multiplicité et la non dégénérescence des solutions de (⁎).